Tutorium zu Mathematik C für Informatikstudierende, 2014

Aufgaben

1. Der Zwischenwertsatz kann auch folgendermaßen formuliert werden (vgl. Korollar 1.2.14):
   
   
   Seien $a, b\in\R$ mit ${a < b}$, $\ f:[a,b]\to\R$ eine Funktion und $\gamma$ eine Zahl zwischen $\ f(a)$ und $\ f(b)$.
   Dann gilt: \[ \text{Ist $\ f$ stetig, so gibt es $p\in[a,b]$ mit $f(p)=\gamma$.} \]
   
   Man formuliere die Umkehrung des Satzes und entscheide, ob sie gilt, indem man beispielsweise die Funktion \[ f:\R_{\geqslant0}\to[-1,1]\ ,\quad x\mapsto\begin{cases} \sin\left(\frac{1}{x}\right) & ,\quad x\neq0\\[2mm] 0 & ,\quad x=0 \end{cases} \ , \] betrachte.

 

2. Für die Funktion $\ f: \R^2\to\R,\ (x,y)\mapsto \begin{cases} \dfrac{x\,y}{x^2+y^2} & ,\quad x\,y\neq0\\[2mm] 0 & ,\quad x\,y=0 \end{cases}\quad,$
   zeige man:
   • Für jedes feste $y_0\in\R$ ist die Funktion $\ f(\cdot,y_0)$ stetig.
   • Für jedes feste $x_0\in\R$ ist die Funktion $\ f(x_0,\cdot)$ stetig.
   • $f$ ist in $(0,0)$ unstetig.
   
   Man untersuche außerdem, ob $\ f$ im Punkt $(0,0)$ Richtungsableitungen besitzt und insbesondere, ob $\ f$ im Punkt $(0,0)$ partiell differenzierbar ist.
   
   Helmut Pruscha, Daniel Rost: Mathematik für Naturwissenschaftler. Methoden, Anwendungen, Programmcodes. Springer Verlag, 2008, S. 256 f.

 

3. Seien $a,b\in\R$ mit $a < b$, und sei $\ f:[a,b]\to\R$ eine integrierbare Funktion. Man zeige, dass dann auch $\abs{\ f}$ integrierbar ist.

 

4. Man zeige, dass die Funktion $\ f: [-1,1]\to\R,\ t\mapsto \begin{cases} 0 & ,\quad t \leqslant 0\\[2mm] 1 & ,\quad t > 0 \end{cases}\quad,$
   integrierbar ist, und kläre, ob $\ f$ eine Stammfunktion besitzt.
   
   Helmut Pruscha, Daniel Rost: Mathematik für Naturwissenschaftler. Methoden, Anwendungen, Programmcodes. Springer Verlag, 2008, S. 147.

 

5. Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine Gold-, eine Silber- und eine Bronzemedaille auf acht Sportler zu verteilen?

 

6. Man gebe alle lokalen Extrema der Funktion $\ f:\R\setminus\set{0}\to\R,\ x\mapsto\sin\left(\frac{1}{x}\right)$, an.

 

7. Man zeige, dass die folgenden Funktionen differenzierbar sind, berechne die erste Ableitung und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.
   
   
   • $\ f:\R\to\R,\ x\mapsto\dfrac{\cos(x)+3x}{\sqrt{x^2+1}}$
   
   
   • $\ g:\R\to\R,\ x\mapsto\left(3\,x^3+4\right)^2 \cdot \exp\left(2\,x^2+1\right)$
   
   
   • $\ h:\R\to\R,\ x\mapsto\log_{10}\left(3^x\right)$
   
   
   • $\ k:\R\to\R,\ x\mapsto x^{2x}$
   
   
   • $\ p:\R_{>1}\to\R,\ x\mapsto \log(x)^{\mathrm e}$, wobei $\mathrm e$ die Eulersche Zahl ist.
   
   Die ersten vier Funktiionen: Troels Johannsen, Uni Kiel, Mathematik für Geowissenschaftler 1, WS 2013/14, Blatt 9, Aufgabe 3.

 

8. Sei $\alpha\in\R$.
   
   
   • Man definiere eine lineare Abbildung $R_{\alpha}:\R^2\to\R^2$, indem man nacheinander die Standardbasisvektoren $\mathbf{e}_1$ und $\mathbf{e}_2$ des $\R^2$ jeweils um den Winkel $\alpha$ drehe.
   
   
   • Man gebe die Darstellungsmatrix von $R_\alpha$ bezüglich der Standardbasis an.
   
   
   • Man benutze die gewonnenen Ergebnisse, um die folgenden Additionstheoreme nachzuweisen:
     Für alle $\alpha, \beta\in\R$ gelten die Gleichungen
     
     
     • $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cdot\cos\beta - \sin\alpha\cdot\sin\beta\quad$ und
     • $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cdot\cos\beta + \cos\alpha\cdot\sin\beta$.

 

9. Man berechne die bestimmten Integrale
   
   
   • $\displaystyle{\int_0^2 \frac{x}{1+x^2}\dd x}\quad$;
     
     
   • $\displaystyle{\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{9}{16}} (1-u)\cdot\sqrt{u}\dd u}\quad$;
     
     
   • $\displaystyle{\int_{0}^{\pi} \sin(x)\cdot\exp(x)\dd x}\quad$;
     
     
   • $\displaystyle {\int_{\frac{1}{\sqrt5}}^{1} \frac{1}{t^2\cdot\sqrt{1-t^2}}\dd t}\quad$;$\quad$ vorher stand hier fäschlicherweise $\ \ \displaystyle {\int_{\frac{1}{\sqrt2}}^{\frac{1}{4}} \frac{1}{t^2\cdot\sqrt{t^2+1}}\dd t}$, was aber schwieriger zu lösen ist.

 

10. In einer Urne befinden sich 1000 Kugeln, die von $000$ bis $999$ durchnummeriert sind.
    
    
    • Eine Kugel wird zufällig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in ihrer Nummer die Ziffer 7 nicht vorkommt?
      
      
    • Die gezogene Kugel wird in die Urne zurückgelegt, und die Urne wird gut durchgeschüttelt. Nun werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in den Nummern beider Kugeln die Ziffer 7 nicht vorkommt?
      
      
    Sabine Giese, Josef Heringlehner et.al., Ausgewählte Aufgaben zum Grundbereich des Staatsexamens in der Mathematik – Wahrscheinlichkeitstheorie, Fassung vom 31. März 2003, http://page.mi.fu-berlin.de/tscho/aufgabensammlung/wth.pdf, S. 8, abgerufen am 24.02.2014.

 

11. Man löse die unbestimmten Integrale
    
    
    • $\displaystyle{\int \frac{\exp(x)}{1+\exp(x)} \!\dd x}\quad$ ;
      
      
    • $\displaystyle{\int \arctan (x) \dd x}\quad$ ;
      
      
    • $\displaystyle{\int \frac{\sin(2\,x)}{\sqrt{1+3\sin(x)}} \dd x}\quad$ ;$\quad$ das Ergebnis ist so weit wie möglich zu vereinfachen.

 

12. • Man bestimme, sofern existent, das Taylorpolynom dritter Ordnung der Funktion $\ f:\ \left]-\frac{1}{3},\,\infty\right[\to\R,\ x\mapsto\sqrt{3\,x+1},$ zum Entwicklungspunkt $1$.
      
      Marco Boßle, http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg1155/, abgerufen am 24.02.2014.
    
    
    
    • Man bestimme, sofern existent, das Taylorpolynom achter Ordnung der Funktion $\ f:\ \R_{>0}\to\R,\ x\mapsto\exp\left(\log(x)+2\right),$ zum Entwicklungspunkt $2$.
      
      

 

13. Man ermittle die uneigentlichen Integrale
    
    
    • $\displaystyle{\int_0^{1}x\cdot\log{x}\dd x}\quad$;
      
      
    • $\displaystyle{\int_0^{\infty}\frac{x}{\left(1+x^2\right)^2}\dd x}\quad$;$\quad$ vorher stand hier fäschlicherweise $\ \ \displaystyle{\int_0^{\infty}\frac{1}{\left(1+x^2\right)^2}\dd x}$, was aber schwieriger zu lösen ist.
      
      
    • $\displaystyle{\int_0^{\infty}x\cdot\exp\left(-x^2\right)\dd x}\quad$.

 

14. Welche Fläche wird durch $\set{x\in\R^3 \where \norm{x}_2=4}$ beschrieben?

 

15. Eine Urne enthält anfangs zwei schwarze und vier weiße Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und zusammen mit drei weiteren Kugeln ihrer Farbe wieder in die Urne zurückgelegt. Nach neuer Durchmischung wird wieder eine Kugel gezogen und obiges Verfahren wiederholt.
    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in zehn Zügen genau sechs schwarze Kugeln zu ziehen?
    
    Norbert Röhrl (Uni Stuttgart), Übungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie WS 2004/05, Blatt 1, http://www.iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaMPhy/Roehrl/wt/Blatt1.pdf, abgerufen am 24.02.2014.

 

16. Man berechne den Grenzwert $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n}}}$, indem man Rechenregeln für Exponentialfunktion und Logarithmus anwende.