Tutorium zu Mathematik B für Informatikstudierende, 2014 (PDF-Version)

Aufgaben

1. Seien $n\in\N_{\geqslant1},\, V:=\R^n$ und $\,f\in\mathrm{End}_\R(V)$. Sei $A\in\Mat_n(\R)$ die Darstellungsmatrix von $\ f$ bezüglich der Standardbasis.
   Man zeige: Ist jedes $v\in V\setminus\{0_V\}$ ein Eigenvektor von $A$, so hat $A$ genau einen Eigenwert. Man folgere daraus, dass $\,f$ ein Vielfaches der Identität ist, d.h. dass es $\lambda\in\R$ gibt mit $\,f=\lambda\cdot\mathrm{id}_V$.

 

2. Kiel und Hamburg liegen genau 100 km voneinander entfernt.

   Die Kieler Studentin Christina Marien hat gerade bei ihrem Kommilitonen Martin Alpers in Hamburg das Telefon klingeln lassen. Das ist das vereinbarte Signal: Sie schwingen sich beide auf ihre Fahrräder und radeln los. Jeder hält sich genau an die vereinbarte Geschwindigkeit: 20 Kilometer pro Stunde. Mit diesem Tempo strampeln sie aufeinander zu.

   Was die beiden nicht wissen: Eine der bekannten Hornissen ist zugleich mit Christina gestartet und fliegt schnurstracks auf Martin zu. Wie jeder weiß, fliegen norddeutsche Hornissen stets mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit von 25 Kilometern pro Stunde. Kaum hat besagte Hornisse Martin erreicht, als sie schon wieder geradewegs auf Christina zufliegt. Dort wiederum wendet sie und fliegt zu Martin, dann wieder zurück zu Christina und so weiter.

   Weder Martin noch Christina interessieren sich auch nur im Geringsten für die Flugleistung der Hornisse. Barbara Langfeld ist da anders. Sie möchte genau wissen, welche Strecke die Hornisse zurückgelegt hat, wenn sich die beiden treffen.

   
   frei nach: Tom Werneck, Denkspielereien, Heyne, München, 2. Auflage 1979;
   http://www.hornissenschutz.de/hornissendaten.htm

 

3. 1. Ist die Menge $\{\ f\in\R^{\R} \mid \text{$f$ hat keine Nullstellen}\}$ ein Untervektorraum von $\R^{\R}$?
   2. Ist die Menge $\{\ f\in\R^{\R} \mid \text{Es gibt ein Intervall, auf dem $\ f$ konstant Null ist}\}$ ein Untervektorraum von $\R^{\R}$?
   3. Ist die Menge $\{\ f\in\R^{\R} \mid \text{Die Menge aller $x\in\R$ mit $\ f(x)=0$ ist die Vereinigung zweier nichtleerer offener Intervalle}\}$ ein Untervektorraum von $\R^{\R}$?
   4. Ist die Menge $\{\ f\in\R^{\R} \mid \text{Die Menge aller $x\in\R$ mit $\ f(x)=0$ ist die Vereinigung zweier nichtleerer, offener und disjunkter Intervalle}\}$ ein Untervektorraum von $\R^{\R}$?
   5. Ist die Menge $\{\ f\in\R^{\R} \mid \text{$f$ hat Nullstellen}\}$ ein Untervektorraum von $\R^{\R}$?
   6. Ist die Menge $\{\ f\in\R^{\R} \mid \text{$f$ hat bei $0$ eine Nullstelle}\}$ ein Untervektorraum von $\R^{\R}$?
   7. Sei $n\in\N_{\geqslant1}$, und sei $B\in\Mat_n(\R)$ gegeben.
      Ist die Menge $\{A\in\Mat_n(\R) \mid A\mspace{2mu}B=B\mspace{2mu}A\}$ ein Untervektorraum von $\Mat_n(\R)$?

 

4. Sei $K$ ein Körper, sei $n\in\N_{\geqslant1}$, und seien $A,\,B\in\Mat_n(K)$ mit $A\mspace{2mu}B=I_n$. Wir wollen zeigen, dass dann automatisch auch $B\mspace{2mu}A=I_n$ gilt.
   
   Seien $x_1,\ x_2,\,\ldots,\ x_n\in K^n$ so gegeben, dass $(x_1,\ x_2,\, \ldots,\ x_n)$ eine Basis von $K^n$ ist.
   
   
   • Man zeige, dass $(B\mspace{2mu}x_1,\ B\mspace{2mu}x_2,\, \ldots,\ B\mspace{2mu}x_n)$ ebenfalls eine Basis von $K^n$ ist. Dazu nehme man an, dass $(B\mspace{2mu}x_1,\ B\mspace{2mu}x_2,\, \ldots,\ B\mspace{2mu}x_n)$ linear abhängig ist und führe dies zum Widerspruch.
   • Man zeige, dass für jeden Vektor $y\in K^n$ ein Vektor $x\in K^n$ existiert mit $B\mspace{2mu}x=y$.
   • Seien $x,\,y\in K^n$ mit $B\mspace{2mu}x=y$. Man rechne $B\mspace{2mu}A\mspace{2mu}y=y$ nach und erhalte daraus $B\mspace{2mu}A=I_n$.
   
   (Man beachte auch die Aufgabe zu den schwachen Gruppenaxiomen!)

 

5. Man zeige: Je zwei der Ringe $\Q$, $\R$, $\C$ sind nicht isomorph.

 

6. Sei $n\in\N_{\geqslant1}$, sei $M:=\N_{\leqslant n}\setminus\{0\}$, und sei $A\in\Mat_n(\R)$. Die Matrix $A$ heißt magisches Quadrat, falls es eine reelle Zahl $s$ derart gibt, dass gilt
   
   
   • Die Summe der Einträge jeder Zeile von $A$ ist gleich $s$, d.h. $\forall\ i\in M:\sum\limits_{j=1}^{n} a_{i,\,j}=s$.
   • Die Summe der Einträge jeder Spalte von $A$ ist gleich $s$, d.h. $\forall\ j\in M:\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i,\,j}=s$.
   • Die Summe der Einträge in der Hauptdiagonalen von $A$ ist gleich $s$, d.h. $\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k,\,k}=s$.
   • Die Summe der Einträge in der Nebendiagonalen von $A$ ist gleich $s$, d.h. $\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k,\,n+1-k}=s$.
   
   Die Zahl $s$ heißt magische Summe. Die Zahl $n$ heißt die Ordnung von $A$. Für jedes $m\in\N_{\geqslant1}$ bezeichnen wir mit $\mathrm{Mag}_m$ die Menge der magischen Quadrate der Ordnung $m$, und wir nennen ein magisches Quadrat der Ordnung $m$ normiert, falls gilt: Jeder Matrixeintrag ist aus der Menge $\N_{\leqslant m^2}\setminus\{0\}$ und kommt genau einmal in der Matrix vor.
   Man zeige:
   
   
   • Es gibt keine normierten magischen Quadrate der Ordnung 2.
   • Die magische Summe eines normierten magischen Quadrats der Ordnung $n$ ist $\dfrac{n^3+n}{2}$.
   • Die Menge $\mathrm{Mag}_n$ ist ein Teilraum von $\Mat_n(\R)$.
   • Die Matrizen\[ \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & \tfrac{1}{2}\\ 0 & \tfrac{1}{2} & 1\\ \tfrac{1}{2} & 1 & 0 \end{array}\right)\quad,\qquad \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & \tfrac{3}{4}\\ 1 & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{2}\\ -\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{array}\right)\quad,\qquad \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & -\tfrac{1}{4}\\ 0 & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{2}\\ \tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{array}\right)\quad\in\mathrm{Mag}_3 \] sind im Vektorraum $\mathrm{Mag}_3$ linear unabhängig.
   
   http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=69449
   http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Magisches_Quadrat&oldid=130289634

 

7. Man gebe einen Algorithmus an, der zu einem Vektor $v\in\R^3\setminus\{(0,0,0)\}$ einen bezüglich des Standardskalarproduktes auf $v$ senkrecht stehenden Vektor $w\in\R^3\setminus\{(0,0,0)\}$ berechnet.

 

8. Gibt es Ringe $R$, in denen die Gleichung $(a+b)^5 = a^5+b^5$ für alle $a,\,b\in R$ gilt?
   
   Lösung

 

9. Man untersuche, für welche $c\in\R$ die Menge \[ U_c := \{(x_1,x_2,x_3) \in \R^3 \mid x_1+x_2+x_3=c\} \] ein Untervektorraum von $\R^3$ ist.

 

10. 1. Seien $n\in\N_{\geqslant1},\,A\in\Mat_n(\R)$.
       Es gebe eine Konstante $c\in\R$ so, dass für alle $k\in\N_{\geqslant1}$ gilt: Der Betrag jedes Eintrags der Matrix $A^k$ ist höchstens gleich $c$.
       Man zeige, dass dann der Betrag jedes Eigenwerts von $A$ höchstens gleich $1$ ist.
       
       
    2. Man bestimme alle reellen Zahlen $a$ so, dass alle Eigenwerte der Matrix \[ \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0\\ 2 & 4 & a\\ 0 & 4 & 0 \end{pmatrix} \quad\in\Mat_3(\R) \] reell sind.

 

11. Man zeige: Im Vektorraum $\R^4$ bilden die Vektoren \[ (0,0,1,1),\ \ (0,1,1,0),\ \ (1,1,0,0),\ \ (1,0,0,1) \] keine Basis, ja nicht einmal ein Erzeugendensystem.

 

12. Man zeige, dass die durch $a_n:=\dfrac{n\cdot\cos(n)}{n^2+1}$ für alle $n\in\N$ definierte Folge eine Cauchy-Folge ist.

 

13. Man zeige: Es gibt genau eine Primzahl $p$ derart, dass $3\mspace{3mu}p+1$ eine Quadratzahl ist.
    
    Lösung

 

14. Sei $K$ ein Körper, sei $(V,+,\cdot)$ ein $K$-Vektorraum, und seien $U$, $W$ Teilräume von $V$.
    
    
    • Auf dem kartesischen Produkt \[U\times W:=\{(u,w)\mid u\in U,\ w\in W\}\] von $U$ und $W$ definiere man eine Addition und eine Multiplikation mit Skalaren \[ \begin{array}{llcllll} \boxplus&:&(U\times W)&\times&(U\times W) &\to& U\times W\\ \boxdot&:&K&\times&(U\times W) &\to& U\times W \end{array} \] so, dass $U\times W$ ein $K$-Vektorraum wird.
    • Man zeige: Durch $(u,w)\mapsto u+w$ wird eine lineare Abbildung $\varphi:U\times W\to V$ definiert.
    • Man bestimme den Kern von $\varphi$ und gebe ein Beispiel, das zeigt, dass $\varphi$ im Allgemeinen nicht surjektiv ist.
    
    nach Olaf von Grudzinski, Lineare Algebra 2, Sommersemester 2012

 

15. Man benutze die folgende Version des Quotientenkriteriums
    
    
    Sei $\left(\sum\limits_{k=0}^{n}a_k\right)_{n\in\N}$ eine Reihe, und es gebe $n_0\in\N$ mit $a_n\neq0$ für alle $n\geqslant n_0$. Dann gilt:
    Existiert $L:=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\abs{\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}}$, und ist $L < 1$, so konvergiert die Reihe $\left(\sum\limits_{k=0}^{n}a_k\right)_{n\in\N}$ absolut.
    
    (vgl. englische Wikipedia)
    
    um die folgende Aussage zu zeigen:
    
    
    Sei $a:=(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge in $\R$. Es gebe $n_0\in\N$ mit $a_n\neq0$ für alle $n\geqslant n_0$. Dann gilt:
    Existiert der Grenzwert $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\abs{\dfrac{a_n}{a_{n+1}}}$, so ist er gleich dem Konvergenzradius der Potenzreihe $\ f_a:\R\to\R^{\N},\ \ x\mapsto f_a(x) := \left(\sum\limits_{k=0}^{n}a_kx^k\right)_{n\in\N}$.
    
    nach Lothar Papula, Mathematik für Ingenieure 1, Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft, Braunschweig und Wiesbaden, 4. Auflage 1988, S. 445
    
    

 

16. • Man zeige: Die Zahl $\sqrt{5}$ ist irrational. Man benutze dies, um zu zeigen, dass die Zahl $\sqrt{\sqrt{5}+3}+\sqrt{\sqrt{5}-2}$ irrational ist.
    • Für jede Primzahl $p$ zeige man: $\sqrt{p}$ ist irrational. Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung muss dabei nicht gezeigt werden.
    • Man lerne Euklids Beweis der Tatsache, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, auswendig.
    • Man wandle den Beweis Euklids geeignet ab, um zu zeigen: Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form $4\mspace{2mu}k+3$, d.h. unendlich viele Primzahlen lassen bei Division durch $4$ den Rest $3$.
      Hinweis: Für alle $k\in\N$ gilt $4\mspace{2mu}k+3 = 4\mspace{2mu}(k+1)-1$.
      Lösung
    • Man zeige: Ist $p$ eine Primzahl der Form $4\mspace{2mu}k+3$, so ist $p$ nicht als Summe zweier Quadratzahlen darstellbar.
      (Man beachte auch die Aufgabe zur Zerlegung in Nichteinheiten in $\Z[\mathrm i]$!)

 

17. • Man zeige: $\Q(\sqrt2) := \{x+y\mspace{3mu}\sqrt2 \mid x,y\in \Q\}\subseteq\R$ ist ein Teilkörper von $\R$.
    • $\R$ kann als Vektorraum über dem Körper $\Q(\sqrt2)$ aufgefasst werden. Sind $1$ und $\sqrt3$ über $\Q(\sqrt2)$ linear unabhängig?
      
      Herbert Amann, Joachim Escher, Analysis 1, Birkhäser Verlag, Basel u.a., 3. Auflage 2006, S. 137.
      
      Lösung

 

18. Seien $a,m\in\N_{\geqslant1}$. Mit $\varphi(m)$ bezeichnen wir die Anzahl jener zu $m$ teilerfremden natürlichen Zahlen, die größer als $0$ und kleiner als $m$ sind und nennen die so definierte Funktion $\varphi: N_{\geqslant1}\to \N_{\geqslant1}$ die Eulersche $\varphi$-Funktion.
    Man zeige den Satz von Euler: Sind $a$ und $m$ teilerfremd, so gilt $a^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod m$.
    
    Kenneth Ireland/Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag, New York, 2nd. ed. 1990, pp. 20, 33.

 

19. Es seien $(a_n)_{n\in\N}$, $(b_n)_{n\in\N}$ zwei reelle Cauchy-Folgen. Man zeige, dass die durch $d_n := \abs{a_n-b_n}$ für alle $n\in\N$ definierte Folge ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.

 

20. Seien $K$ ein Körper, $n\in\N_{\geqslant 1}$, $A\in\Mat_n(K)$ und $b\in K^n$. Es gelte: Das lineare Gleichungssystem $A\mspace{3mu}x=b$ ist lösbar, aber nicht eindeutig lösbar.
    Man beweise oder widerlege: $A\mspace{3mu}x=b$ hat unendlich viele Lösungen.

 

21. Wir versehen $\R^2$ mit dem Standardskalarprodukt $\langle\cdot,\cdot\rangle$. Man gebe eine von der Nullabbildung verschiedene lineare Abbildung $\ f:\R^2\to \R^2$ an mit der Eigenschaft $\langle\ f(v),\,v\rangle=0$ für alle $v\in\R^2$.

 

22. Gibt es Ringe $R$, in denen die Gleichung $\det{(\lambda A)}=\lambda\det(A)$ für alle $n\in\N_{\geqslant 1}$, $A\in\Mat_n(R)$ und $\lambda\in R$ gilt?
23. Auf der Menge $F:=(\R_{\geqslant0})^{\N}$ definieren wir zwei Relationen $\ll$ und $\lll$ durch \[ f \ll g:\mspace{-5mu}\iff \exists c\in\R_{>0} \mspace{10mu}\exists m\in\N \mspace{10mu}\forall n\in\N_{\geqslant m}\quad f(n) \leqslant c\cdot g(n)\qquad\text{für alle $f,g\in F$},\\[3mm] f \lll g:\mspace{-5mu}\iff \forall c\in\R_{>0} \mspace{10mu}\exists m\in\N \mspace{10mu}\forall n\in\N_{\geqslant m}\quad f(n) \leqslant c\cdot g(n)\qquad\text{für alle $f,g\in F$}. \] Wir schreiben $\ f\in\mathcal O(g)$ für $\ f\ll g$ und $\ f\in\mathcal o(g)$ für $\ f\lll g$. Man zeige:
    
    
    1. Sind $\ f,g\in F$ definiert durch $\ f: n\mapsto 2^{n+3}$ und $g: n\mapsto 2^{n}$, so gelten $\ f\in\mathcal O(g)$ und $g\in\mathcal O(f)$.
    2. Die Relation $\ll$ ist reflexiv und transitiv, aber weder symmetrisch noch antisymmetrisch.
    3. Gibt es $n_0\in\N$ so, dass für alle $n\geqslant n_0$ gilt $g(n)\neq0$, und ist die Folge $\left(\dfrac{f(n)}{g(n)}\right)_{n\in\N_{\geqslant n_0}}$ konvergent, so gilt $\ f\in\mathcal O(g)$.
    4. Gibt es $n_0\in\N$ so, dass für alle $n\geqslant n_0$ gilt $g(n)\neq0$, und ist die Folge $\left(\dfrac{f(n)}{g(n)}\right)_{n\in\N_{\geqslant n_0}}$ konvergent mit Grenzwert $0$, so gilt $\ f\in\mathcal o(g)$.
    
    Barbara Langfeld, Uni Kiel, Mathematik B für Informatikstudierende, Sommersemester 2013, Hausaufgabe 1.2
    http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Landau-Symbole&oldid=131782795#Definition
    http://www.inf.fu-berlin.de/lehre/SS10/infb/o-notation.pdf

 

24. 1. Man gebe eine orthogonale Matrix $A\in\Mat_2(\R)$ an, die nicht symmetrisch ist.
    2. Sei $n\in\N_{\geqslant 3}$. Man gebe eine orthogonale Matrix $A\in\Mat_n(\R)$ an, die nicht symmetrisch ist.
    3. Sei $n\in\N_{\geqslant 1}$ und $A\in\Mat_n(\R)$ orthogonal. Man bestimme für jedes $k\in\N_{\geqslant1}$ die Dimension von $\ker\ f_{A^k}$ und die Dimension von $\ f_{A^k}(\R^n)$.

 

25. Du kommst bei einem Spaziergang an einer Herde Schafe vorbei. Du bist erstaunt über die große Anzahl der Schafe und fragst den Schäfer, wie viele Schafe das seien. Er gibt dir Folgendes als Antwort:
    

    „Genau weiß ich das nicht, aber es sind auf keinen Fall mehr als sechshundert. Wenn ich die Schafe paarweise aufstelle, dann bleibt immer eines übrig. Genauso, wenn ich sie in Dreierreihen aufstelle. Und bei Vierer-, Fünfer- und Sechserreihen auch. Erst, wenn ich sie in Siebenerreihen aufstelle, bleibt keines übrig.“

    Wie viele Schafe hat der Schäfer?
    
    http://www.matheboard.de/archive/17373/thread.html

 

26. Man bestimme eine Basis des Kerns und eine Basis des Bildes der linearen Abbildung $\varphi:\R^4\to\R^5,\ \ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x_1+x_2\\x_2-x_3\\x_1+x_3\\x_3-x_2\\x_1+x_4\end{pmatrix}\quad$.

 

27. Es sei $K:=\Z_5$. Um nicht in Klammern zu ersticken, schreiben wir $\overline{a}$ anstatt $[a]$ für alle $[a]\in K$.
    Sei\[ A:=\begin{pmatrix} \overline1 & \overline3 & \overline0\\ \overline2 & \overline3 & \overline2\\ \overline4 & \overline1 & \overline4 \end{pmatrix} \quad \in\Mat_3(K). \] Man bestimme die Dimension des Kerns und eine Basis des Bildes von $\ f_A$, also der linearen Abbildung $K^3\to K^3,\ x\mapsto A\mspace{2mu}x$.

 

28. Sei $q$ eine Primzahlpotenz, und sei $\mathbb F_q$ der Körper mit $q$ Elementen. Man zeige: Das Polynom $X^q-X\in\mathbb F_q[X]$ hat jedes Element $a\in\mathbb F_q$ als Nullstelle, und es gibt kein Polynom kleineren Grades mit dieser Eigenschaft.

 

29. Man bestimme mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthogonalbasis des von den Vektoren $(3,0,4),\ \ (7,0,1),\ \ (10,4,5)$ erzeugten Teilraums von $\R^3$.
    
    http://numod.ins.uni-bonn.de/teaching/ws11/ingmath3/u07L.pdf

 

30. Seien $m,\ n\in\N_{\geqslant 1}$, und sei $A\in\Mat_{m,n}(\R)$. Man zeige: Die Matrix $A\cdot A^T$ ist symmetrisch.

 

31. Seien $a,\ b,\ c,\ d\in\C$ derart, dass die Matrix \[ A:=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in\Mat_2(\C) \] diagonalisierbar ist.
    Anhand des charakteristischen Polynoms von $A$ zeige man:
    
    
    • Die Summe der Eigenwerte von $A$ ist gleich $a+d$.
    • Das Produkt der Eigenwerte von $A$ ist gleich der Determinante von $A$.
    
    Hinweis: Man ordne die Monome im charakteristischen Polynom nach fallenden Potenzen von $X$ und erinnere sich an Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen.

 

32. Sei $K$ ein Körper, sei $V$ ein $K$-Vektorraum, und seien $U_1$ und $U_2$ zwei $K$-Untervektorräme von $V$. Man zeige, dass $U_1\cup U_2$ genau dann ein Untervektorraum von $V$ ist, wenn $U_1\subseteq U_2$ oder $U_2\subseteq U_1$ gilt.

 

33. Seien $\alpha,\,\beta\in\R$, und es gelte $\abs{\{1,\,\alpha,\,\beta\}} = 3$. Man zeige: Im Vektorraum $\R^\R$ ist das Tupel $\left(\exp(\cdot),\,\exp(\alpha\mspace{3mu}\cdot),\,\exp(\beta\mspace{3mu}\cdot)\right)$ linear unabhängig.
    
    Volker Wrobel, Uni Kiel, Mathematik für Physiker II, Sommersemester 2012

 

34. Ist $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und $n\in\N_{\geqslant 1}$, so nennen wir eine Matrix $A\in\Mat_n(R)$ schiefsymmetrisch, falls gilt $A^T=-A$.
    Man zeige:
    
    
    1. Jede quadratische reelle Matrix lässt sich als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix schreiben.
    2. Ist $R$ ein Körper, so bilden die schiefsymmetrischen Matrizen einen $\R$-Vektorraum. Man bestimme außerdem seine Dimension.
    3. Gilt $1+1\neq0$ in $R$, ist $n$ ungerade und $A\in\Mat_n(R)$ schiefsymmetrisch, so ist $\det A = 0$.
    
    nach einer alten Klausuraufgabe von Frieder Knüppel, Uni Kiel

 

35. Man pseudoinvertiere die Matrix \[ A:=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\ 7 & 3 & 10 \end{pmatrix}\in\Mat_{2,\,3}(\R) \] von rechts, d.h. man gebe eine Matrix $B\in\Mat_{3,\,2}(\R)$ so an, dass $A\mspace{3mu}B=I_2$ gilt.

 

36. Man widerlege: Eine reelle $(n\times n)$-Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie genau $n$ verschiedene (möglicherweise komplexe) Eigenwerte hat.

 

37. Sei $n\in\N_{\geqslant 1}$, und sei $p = \sum\limits_{i=0}^{n}a_iX^i \in\R[X]$ ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, das eine ganzzahlige Nullstelle $s$ besitzt. Man zeige: $s$ ist ein Teiler von $a_0$.

 

38. Man bestimme alle Lösungen $(x,y,z)\in\R^3$ des linearen Gleichungssystems \[ \begin{array}{cccccccccc} &2\mspace{3mu}z&+&4\mspace{3mu}y&+&2\mspace{3mu}x &=& -12\\ \land&7\mspace{3mu}z&+&12\mspace{3mu}y&+&2\mspace{3mu}x &=& -5\\ \land&6\mspace{3mu}z&+&10\mspace{3mu}y&+&x&=&1&\quad. \end{array} \]
    nach Richard Weidmann, Uni Kiel, Lineare Algebra 1, WS 2012/13, Serie 1, Aufgabe 3

 

39. • Man zeige direkt, d.h. ohne an den Hauptsatz der Algebra zu appellieren, dass die Gleichung $z^2=-1$ genau zwei Lösungen $z\in\C$ besitzt.
    • Man zeige, dass die Funktion $\ f:\C\to\{z\in\C:\abs z = 1\},\quad z\mapsto\dfrac{z}{\abs z}$, surjektiv ist.
    • Man löse in $\C$ die Gleichung $\dfrac{1}{z-\mathrm i}+\dfrac{2+\mathrm i}{1+\mathrm i}=\sqrt2$.

 

40. Man zeige, dass für alle $n\in\N_{>0}$ gilt \[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\quad. \] http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=187474
    
    Lösung

 

41. Man entscheide, ob die Reihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+4}{n^2-3\mspace{3mu}n+1}$ konvergiert.

 

42. Man zeige, dass auf dem Vektorraum $\R[X]_{\leqslant 3}$ der Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad höchstens 3 durch \[ \Phi(f,g) := f(1)\cdot g(1) - f(0)\cdot g(0) \qquad \text{für alle $f,g\in\R[X]_{\leqslant 3}$} \] eine bilineare Abbildung $\Phi\colon\R[X]_{\leqslant 3}\to\R$ gegeben ist.
    
    http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=186331

 

43. Mittels elementarer Zeilenumformungen bestimme man für jedes $r\in\Q$ den Rang der zu $\Mat_3(\Q)$ gehörenden Matrix \[ A_r := \begin{pmatrix} 1 & 1-r & 1\\ 2 & 1-r & 2\\ -1 & 2-2r & -3-2r \end{pmatrix}\quad, \] kläre, unter welchen Voraussetzungen an $r$ sie in $\Mat_3(\Q)$ invertierbar ist, und berechne gegebenenfalls ihre Inverse.
    
    Olaf von Grudzinksi, Klausur zu Lineare Algebra II, 12.7.2012

 

44. 1. Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, sei $n\in\N_{\geqslant 1}$, und seien $A,\,B$ zwei $(n\times n)$-Matrizen über $R$. Gilt dann stets $\det(AB)=\det(BA)$?
    2. Man berechne die Determinante der Matrix \[ \left(\begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} -11 & 8 & -1 & -11 & 4 & 17 & -10 & -16 & 7 & 13\\ -15 & -2 & 0 & 3 & -5 & 8 & -15 & 12 & 15 & -1\\ -9 & 7 & -1 & -10 & -17 & 9 & 11 & -12 & 11 & 11\\ -7 & 1 & -9 & 0 & 15 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -14 & 4 & 6 & -12 & 7 & -11 & 6 & 13 & -13 & 14\\ -16 & -3 & -11 & 18 & 13 & 13 & -1 & 5 & -3 & -15\\ -9 & 14 & -15 & 2 & -16 & 11 & 15 & -9 & 8 & -1\\ -13 & 15 & -4 & -16 & -9 & 3 & 18 & 8 & 10 & -12\\ 0 & 12 & -10 & 9 & 9 & 10 & -16 & 1 & -6 & -9\\ -11 & 11 & -7 & 5 & -7 & 0 & 14 & 7 & 3 & -15\\ \end{array}\right)\quad\in\Mat_{10}(\R). \] Jetzt stimmt die Matrix auch... sorry nochmal...
       Der Entwicklungssatz von Laplace bietet sich nicht an, genausowenig die Leibnizformel. Stattdessen wird es sich als hilfreich erweisen, die Zeilensummen zu betrachten und das Gauß-Verfahren im Geiste durchzuspielen.
       
       Matrix erzeugt mit diesem Skript. Anhand des Aussehens des Quellcodes überzeugt man sich schnell, dass er von mir stammt ;)

 

45. Man beweise oder widerlege:

    • Sind 26 ganze Zahlen so gegeben, dass ihr Produkt gleich 1 ist, so ist ihre Summe ungleich 0.
    • Eine natürliche Zahl, deren letzte Ziffer 7 ist, ist keine Quadratzahl.
    • Jede Quadratzahl (außer Null) hat genau drei positive Teiler.
    • Jede natürliche Zahl (außer Null), die genau drei positive Teiler hat, ist eine Quadratzahl.
    • Zwei natürliche Zahlen, deren Summe eine Primzahl ergibt, sind teilerfremd.
    • Es gibt natürliche Zahlen $n$ derart, dass $4\mspace{2mu}n^3+6\mspace{2mu}n^2+4\mspace{2mu}n+1$ eine Primzahl ist.
      Hinweis: $4\mspace{2mu}n^3+6\mspace{2mu}n^2+4\mspace{2mu}n+1 = (n+1)^4-n^4$.
    • Es gibt keine natürlichen Zahlen $a,\,b$ mit $a^2-b^2=10$.
      Hinweis: Man betrachte die Reste modulo $4$.

 

46. Man berechne die Eigenwerte und die Eigenräume der folgenden komplexen $(7\times7)$-Matrix:
    \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \] Man untersuche außerdem, ob die Matrix diagonalisierbar ist.

 

47. Man entscheide, ob die durch \[ a_n := 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+n}}\quad\text{für alle $n\in \N$}\qquad\text{und}\\[10mm] b_n := \frac{(n+1)^3+(n-1)^3}{(n+1)^3-(n-1)^3}\quad\text{für alle $n\in \N$}\\ \] definierten Folgen konvergieren, und gebe im Fall der Konvergenz den Grenzwert an.

 

48. • Man zeige, dass $\Z[\mathrm i]:=\{a+b\mspace{2mu}\mathrm i\mid a,b\in\Z\}\subseteq\C$ ein Teilring von $\C$ ist und bestimme seine Einheiten.
    • Man zerlege in $\Z[\mathrm i]$ die Zahl $17$ in ein Produkt zweier Nichteinheiten.
      Hinweis: $17 = 16 + 1 = 4^2+1$.
      Damit ist also die Primzahl $17$ im Ring $\Z[\mathrm i]$ nicht irreduzibel, also erst recht nicht prim!
      
      (Man beachte auch die Aufgabe zu den Primzahlen der Form $4\mspace{2mu}k+3$!)

 

49. Man gebe ein $a\in\N_{\leqslant108}$ so an, dass $a^2\equiv 3\pmod{109}$ gilt.
    Hinweise:
    
    
    • $121=109+12$
    • $12=4\cdot 3=2^2\cdot 3$

 

50. Man zeige: Die Menge $\Z(\sqrt3) := \{x+y\mspace{3mu}\sqrt3 \mid x,y\in \Z\}\subseteq\R$ ist kein Teilkörper von $\R$. Man gebe dazu ein Element aus $\Z(\sqrt3)\setminus\{0\}$ an, das kein multiplikatives Inverses besitzt.

 

51. Nachdem man die Existenz nachgewiesen hat, berechne man das multiplikative Inverse
    
    
    • von $[4]$ in $\Z_{13}\quad$,
    • von $[456]$ in $\Z_{901}\quad$,
    • von $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix}$ in $\Mat_2(\R)$, wobei $a,\,b\in\R\setminus\{0\}$ gelte.

 

52. 1. Es sei $g$ diejenige Gerade des $\R^2$, die durch den Punkt $(4,\,3)$ geht und Steigung $2$ hat. Ist $g$ ein Teilraum des $\R^2$?
    2. Seien $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Seien $a,\,b\in V$.
       Wenn $\{a,\,b\}$ eine linear unabhängige Menge in $V$ ist, ist dann auch die Menge $\{a+b,\,a-b\}$ linear unabhängig in $V$?
    3. Um nicht in Klammern zu ersticken, schreiben wir $\overline1$ anstatt $[1]$ und $\overline0$ anstatt $[0]$.
       Bilden die Vektoren $a:=(\overline1,\overline1,\overline1),\ \ b:=(\overline1,\overline1,\overline0),\ \ c:=(\overline1,\overline0,\overline1)\ \ \in \Z_2^3$ eine Basis des $\Z_2^3$? Lässt sich $v:=(\overline1,\overline0,\overline0)$ als Linearkombination dieser Vektoren schreiben?
    4. Bildet die Menge $\{(1,3,0),(-2,1,0),(-1,5,0)\}$ eine Basis des $\R^3$?
    5. Sei $K$ ein Körper, sei $V$ ein $K$-Vektorraum, und sei $U$ eine endliche Teilmenge von $V$ mit $\abs U\geqslant2$.
       Man zeige: Die Menge $U$ ist genau dann linear abhängig, wenn es einen Vektor $u\in U$ gibt, der sich als Linearkombination der Vektoren aus $U\setminus\{u\}$ schreiben lässt.
       
       nach Albrecht Beutelspacher, Lineare Algebra, Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 7.(?) Auflage 2008.
    6. Sei $K$ ein Körper, sei $V$ ein $K$-Vektorraum, und seien $U$ und $W$ Teilräme von $V$. Man zeige:
       
       
       • $U+W := \{u+w \mid u\in U,\ w\in W\}$ ist ein Teilraum von $V$.
       • Im Allgemeinen ist $U\cup W$ kein Teilraum von $V$.

 

53. Es sei $M:=\R\setminus\{-1\}$.
    
    
    • Man zeige, dass auf $M$ durch \[ a\circ b:=a+b+a\cdot b\quad\text{für alle $a,b\in M$} \] eine Verknüpfung definiert ist.
    • Man untersuche, ob $M$ mit dieser Verknüpfung eine Gruppe ist.
    • Man löse in $M$ die Gleichung $(5\circ x)\circ 6 = 17$.

 

54. Um nicht in Klammern zu ersticken, schreiben wir $\overline1$ anstatt $[1]$ und $\overline0$ anstatt $[0]$.
    Sei $p$ eine Primzahl. Man zeige: Das Produkt aller Elemente der Gruppe $\left(\Z_p\setminus\{\overline0\},\ \cdot,\ \overline1\right)$ ist $\overline{-1}$.

 

55. Es seien zwei gleiche Trinkgläser gegeben. Beide seien zur Hälfte gefüllt — eines mit Limo, das andere mit Cola. Man gibt einen Löffel Limo in das Colaglas, rührt um und gibt einen Löffel zurück aus der Mischung in das Limoglas.
    
    Welche Aussagen gelten dann?
    
    
    • Danach ist mehr Limo in der Cola.
    • Danach enthalten beide Gläser die gleiche Menge des jeweils anderen Getränks.
    • Danach ist mehr Cola in der Limo.
    • Das hat doch nichts mit linearer Algebra zu tun?!
    
    nach Tom Werneck, Denkspielereien, Heyne, München, 2. Auflage 1979

 

56. Man beweise oder widerlege: Die durch \[ \forall\mspace{2mu} x,y\in\mathbb Z\qquad x\mspace{3mu}R\mspace{2mu}y\mspace{6mu} :\mspace{-5mu}\iff 7\mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 2\mspace{3mu}x+5\mspace{3mu}y \] definierte Relation $R\subseteq \Z\times\Z$ ist eine Äquivalenzrelation.
    
    Lösung

 

57. Sei $K$ ein Körper, und seien $V$ und $W$ zwei $K$-Vektorräume.
    
    Folgt dann aus $\dim_K V=\dim_K W$ stets $V=W$?

 

58. Man berechne die Eigenwerte und die Eigenräume der folgenden Matrix. \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2\\ 2 & 3 & 2\\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix} \quad\in\Mat_3(\R). \]

 

59. Sei $(G,\,\ast,\,e)$ eine Gruppe. Man zeige:

    • Ist die Abbildung $G\to G$, $a\mapsto a\ast a$, ein Homomorphismus, so ist $G$ abelsch.
    • Gilt $a\ast a=e$ für alle $a\in G$, so ist $G$ abelsch.
    • Ist $G$ zyklisch, so ist $G$ abelsch.
    • Ist $G$ endlich und $\abs G$ ungerade und gilt $a\ast b\ast a\ast b=b\ast a\ast b\ast a$ für alle $a,b\in G$, so ist $G$ abelsch.
    
    Man untersuche zudem die Umkehrungen der vier Aussagen.
    
    Lösung

 

60. Sei $K$ ein Körper, sei $n\in\N_{>1}$ und sei $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum. Seien $U_0, U_1,\ldots,U_n$ Teilräume von $V$ derart, dass für alle $j\in\{1,\ldots,n\}$ gilt: $U_{j-1}$ ist ein echter Teilraum von $U_j$. Man zeige, dass dann gilt: $\dim_K U_j = j$ für alle $j\in\{1,\ldots,n\}$.
    
    Olaf von Grudzinksi, Klausur zu Lineare Algebra II, 12.7.2012

 

61. Sei $\alpha\in\R$.
    
    
    • Man definiere eine lineare Abbildung $R_{\alpha}:\R^2\to\R^2$, indem man nacheinander die Standardbasisvektoren $\mathbf{e}_1$ und $\mathbf{e}_2$ des $\R^2$ jeweils um den Winkel $\alpha$ drehe.
    • Man gebe die Darstellungsmatrix von $R_\alpha$ bezüglich der Standardbasis an.
    • Man benutze die gewonnenen Ergebnisse, um die folgenden Additionstheoreme nachzuweisen: Für alle $\alpha, \beta\in\R$ gelten die Gleichungen
      
      
      • $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cdot\cos\beta - \sin\alpha\cdot\sin\beta\quad$ und
      • $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cdot\cos\beta + \cos\alpha\cdot\sin\beta$.
    
    Thure Dührsen, Tutorium zu Mathematik C für Informatikstudierende 2014

 

62. • Man zeige: Die Gruppe $(\Z,\,+,\,0)$ hat unendlich viele Untergruppen.
    • Man entscheide, ob $U:=\left\{\mspace{-10mu} \begin{array}{r|l}\dfrac{a}{15} & a\in\Z\end{array}\mspace{-10mu} \right\}$ eine Untergruppe von $(\Q,\,+,\,0)$ ist.

 

63. Man bestimme die Dimension des von den Vektoren \[ \begin{array}{ll} v_1 := (1,2,-2,-7,1)\quad, & v_2 := (1,2,0,-1,2)\quad,\\ v_3 := (2,4,-1,-5,0)\quad, & v_4 := (1,2,1,2,1) \end{array} \] aufgespannten Teilraums von $\R^5$.
    
    Olaf von Grudzinksi, Klausur zu Lineare Algebra II, 12.7.2012

 

64. 1. Seien $a,\,b,\,c\in\Z$, und es gelte $\mathrm{ggT}(a,\,b)=c$. Man zeige: $c^2 \mid a\cdot b$.
    2. Für jedes $k\in\N_{\geqslant1}$ zeige man: Die Zahlen $k$ und $k+1$ sind teilerfremd.
    3. Sei $n\in\N_{>1}$. Man gebe $n$ aufeinanderfolgende natürliche Zahlen an, von denen keine prim ist.
    4. Man zeige: Ist $p$ eine Primzahl größer als $3$, so ist $p^2-1$ durch $24$ teilbar.
       Hinweis: $p=(6\mspace{2mu}k\pm1)^2$ für ein passendes $k\in\N$.
    5. Sei $z$ eine im Dezimalsystem mehrstellige ganze Zahl. Man bilde aus $z$ die Zahl $z'\in\Z$, indem man die Einerstelle von $z$ streiche und von der verbleibenden Zahl das Doppelte der gestrichenen Ziffer subtrahiere.
       Man zeige: Ist $z'$ durch $7$ teilbar, so auch $z$. Man entwickle daraus einen Algorithmus, mit dem man die Teilbarkeit einer ganzen Zahl $n\neq0$ durch $7$ in $\mathcal O(\log(\abs n))$ Schritten prüfen kann.
    6. Man zeige mit Hilfe des kleinen Fermatschen Satzes: Die Zahlen $5^{98}+3$ und $5^{99}+1$ sind beide durch $14$ teilbar.
       Lösung
    7. Man berechne den Rest, der bei der Division von $2015^{2013\mspace{2mu}\cdot\mspace{2mu} 2011}$ durch $2014$ bleibt.
    8. Man zeige: Für jedes $n\in\N$ ist $n^3-n$ durch $6$ teilbar.
       
    9. Man zeige mithilfe einer endlichen geometrischen Reihe, dass für alle $k,\,n\in\N_{>1}$ gilt: \[ k \mid n \implies 2^k-1 \mid 2^n-1\quad. \]
    10. Man zeige, dass für alle natürlichen Zahlen $a>2$ und $n>0$ gilt: \[ \text{Ist $a^n+1$ eine Primzahl, so ist $a$ gerade und $n$ ist eine Zweierpotenz.} \] Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright: An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edition, Oxford Science Publications, 1979, p.15, Theorem 17
    11. Es sei $M$ die Menge aller sechsstelligen natürlichen Zahlen, in denen jede der Ziffern $0,1,2,3,4,5$ genau einmal vorkommt.
        Man gebe alle Primzahlen an, die in $M$ liegen.

 

65. Man zeige, dass die Folge $(a_n)_{n\in\N_{\geqslant1}}$, definiert durch \[ a_{n}:= \begin{cases} 1 & , \quad n = 1\\ \sqrt{\vphantom{1+a_n^2}1+a_{n-1}}& , \quad n > 1 \end{cases} \quad \text{für alle $n\in\N_{\geqslant1}$}\quad, \] konvergiert und gebe ihren Grenzwert an.
    
    http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=184903&post_id=1363796
    
    Lösung

 

66. Man berechne die Determinante der Matrix \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 5 & 1 & 3\\ 4 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 9 & 8 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad\in\Mat_5(\R) \quad. \]
    Olaf von Grudzinksi, Klausur zu Lineare Algebra II, 12.7.2012

 

67. Es sei $(G,\, \cdot)$ eine Halbgruppe mit den Eigenschaften:
    
    
    1. Es gibt ein $e\in G$ so, dass für alle $a\in G$ gilt: $e\cdot a=a$, d.h. $e$ ist linksneutrales Element.
    2. Zu jedem $a\in G$ existiert ein $b\in G$ mit $b\cdot a=e$, d.h. $a$ ist von links invertierbar.
    
    Man zeige, dass $G$ eine Gruppe ist.
    
    Christian Karpfinger, Kurt Meyberg, „Algebra“, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2. Auflage 2010, S. 18.

 

68. 1. Sei $M$ eine nichtleere Menge, und seien $\alpha,\,\beta\colon M\to M$ derart gegeben, dass $\beta\circ\alpha=\id_M$ gilt. Ist dann $\alpha$ stets eine Permutation?
       
       Frieder Knüppel, Uni Kiel, Lineare Algebra 1, Wintersemester 2010/11, Serie 1, Aufgabe 7
    2. Sei $n\in\N_{>1}$. Sei $M:=\N_{\leqslant 2\mspace{2mu}n}\setminus\{0\}$, und sei $U$ eine aus genau $n+1$ Elementen bestehende Teilmenge von $M$. Man zeige: Es gibt ein Paar $(a,b)\in U\times U$ mit $\mathrm{ggT}(a,b)=1$.

 

69. Man zeige: Im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$ sind die Einheiten genau die Polynome vom Grad 0.

 

70. 1. Man zeige: $\{5\mspace{2mu}k+7\mspace{2mu}l \mid k,\,l\in\Z\} = \Z$.
       
       Olaf von Grudzinski/Rudolf Schnabel: „Mathematische Grundlagen“, Mathematisches Seminar der Universität Kiel, 2., überarbeitete Auflage, Wintersemester 2011/2012, S. 30.
    2. Man zeige: Die Gleichung $3\mspace{2mu}x+6\mspace{2mu}y=14$ hat keine Lösungen, bei denen $x$ und $y$ ganze Zahlen sind.

 

71. Sind $R$ und $S$ Ringe, so heißt eine Abbildung $\varphi\colon R\to S$ ein Ringhomomorphismus, falls für alle $a,\,b\in R$ gilt:\[ \varphi(a+b) = \varphi(a)+\varphi(b) \quad \text{und} \\ \varphi(a\cdot b) = \varphi(a)\cdot\varphi(b)\quad. \] Man zeige: Sind $K$ und $L$ Körper und ist $\varphi\colon K\to L$ ein nichtinjektiver Ringhomomorphismus, so ist $\varphi$ die Nullabbildung.

 

72. Man zeige: Für alle $a,\,b\in\R$ hat die Gleichung $a+x=b$ genau eine Lösung $x\in\R$. Man verwende im Beweis nur die folgenden vier Axiome für die Addition in $\R$
    
    
    1. Für alle $x,\,y,\,z\in\R$ gilt $(x+y)+z=x+(y+z)$.
    2. Für alle $x,\,y\in\R$ gilt $x+y=y+x$.
    3. Es gibt eine Zahl $0\in\R$ so, dass $x+0=x$ für alle $x\in\R$ gilt.
    4. Zu jedem $x\in\R$ existiert eine Zahl $-x\in\R$ so, dass $x+(-x)=0$ gilt.
    
    sowie die Setzung $ x-y := x+(-y) \quad\text{für alle $x, y\in \R$} $
    und benutze in jedem Beweisschritt genau eine(s) davon. Man zeige Existenz und Eindeutigkeit getrennt voneinander und bemühe sich, in beiden Teilen zusammen mit zwölf Schritten auszukommen.
    
    nach Otto Forster, „Analysis 1“, Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden, 10. Auflage 2011, S. 13.

 

73. Man zeige mit Hilfe der Vektorrechnung:

    Im schiefwinkligen Dreieck (Bezeichnungen siehe Bild) gilt $c^2 = a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos(\gamma)$.

    Bild: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Dreieck-umkreis.svg/250px-Dreieck-umkreis.svg.png

 

74. Sei $n\in\N_{\geqslant1}$, und seien $A,\,B\in\Mat_{n}(\R)$. Man zeige: $(A+B)^2 = A^2+A\cdot B+B\cdot A+B^2$.

 

75. Man zeige die Aussage \[ \text{Sind $a,\,b,\,c$ reelle Zahlen mit $a+b+c=1$, so gilt $a^2+b^2+c^2\geqslant \frac13$}\quad. \] auf zweierlei Weise: erstens durch Ausmultiplizieren der linken Seite der Ungleichung \[ \left(a-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(b-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(c-\frac{1}{3}\right)^2\geqslant0\quad, \] deren Gültigkeit natürlich zu begründen ist; zweitens unter Rückgriff auf die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.
    
    http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=169366
    
    Lösung