Zu Aufgabe 3a

Beh. Windungszahl = 0.

Bew. Wir zeigen: Der Geschwindigkeitsvektor zeigt niemals senkrecht nach oben,
denn dann folgt die Behauptung aus Tutorium 2, Aufgabe 4.

Dieser Ansatz wurde im Tutorium vorgeschlagen.

Sei t\in\R. Dann gilt

gamma'(t) = (-sin(t), 2*cos(2*t)), also

||gamma'(t)|| = sqrt(4*cos(2*t)^2+sin(t)^2) und damit

1/||gamma'(t)|| * gamma'(t) = 1/sqrt(4*cos(2*t)^2+sin(t)^2) * (-sin(t), 2*cos(2*t))

Gilt (-sin(t), 2*cos(2*t)) = (0,1), so folgt, dass t ein ganzzahliges Vielfaches von pi ist. Also genuegt es zu zeigen, dass 1/||gamma'(t)|| stets von 1/2 verschieden ist.

Sei t\in\R. Dann gilt

        ||gamma'(t)|| = 2
gdw.    sqrt(4*cos(2*t)^2+sin(t)^2) = 2
gdw.    4*cos(2*t)^2+sin(t)^2 = 4
gdw.    4*(cos(t)^2-sin(t)^2)^2+sin(t)^2 = 4     cos(2*t) = cos(t)^2-sin(t)^2
gdw.    4*sin(t)^4-8*cos(t)^2*sin(t)^2+4*cos(t)^4+sin(t)^2 = 4    Binomi
gdw.    16*cos(t)^4-17*cos(t)^2+5=4     Wolfram Alpha
gdw.    17*cos(t)^2-16*cos(t)^4=1
gdw.    17*y-16*y^2=1                  setze y:=cos(t)^2
gdw.    y=1/16 oder y=1
gdw.    cos(t)^2=1/16 oder cos(t)^2=1
gdw.    (cos(t) = plus oder minus 1/4) oder (cos(t) = plus oder minus 1)

Die Annahme cos(t) = plus oder minus 1/4 steht im Widerspruch dazu, dass
t ein ganzzahliges Vielfaches von pi ist.

cos(t) = plus oder minus 1 passt jedoch sehr gut dazu.

Ist hier irgendwo ein Fehler?