Steffen Börm: Skripte

Grundlagen der Numerik

Die Vorlesung beschäftigt sich mit den Fragen, die bei der Umsetzung mathematischer Berechnungen auf Computern auftreten: Wie stellt man ein mathematisches Objekt dar? Wann ist eine exakte Darstellung nicht möglich, so dass eine Näherung verwendet werden muss? Wie genau ist die Näherung? Wie berechnet man sie effizient?

Nach einer kurzen Einführung in die Darstellung reeller Zahlen im Computer und in elementare Fehlerrechnung werden

• das Lösen linearer und nichtlinearer Gleichungssysteme,
• die Behandlung von linearen Ausgleichsproblemen,
• die Approximation von Funktionen durch Interpolation,
• die näherungsweise Berechnung von Integralen sowie
• einfache Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

in der Vorlesung behandelt.

Skript, Stand Sommersemester 2009
Wiederholungsfolien, Stand Sommersemester 2008

Iterative Verfahren für große Gleichungssysteme

In vielen Bereichen des wissenschaftlichen Rechnens treten sehr große Gleichungssysteme auf, beispielsweise bei der Simulation elektromagnetischer, strömungsdynamischer oder strukturmechanischer Probleme. Da sich derartige Probleme mit klassischen Verfahren wie der Gauß-Elimination nicht mehr in vertretbarer Zeit lösen lassen, kommen alternative Algorithmen zum Einsatz: Statt die Lösung direkt zu bestimmen werden Näherungslösungen berechnet, die sie beliebig gut approximieren.

Die Vorlesung beschäftigt sich mit klassischen iterativen Verfahren wie der Gauß-Seidel- oder der Jacobi-Iteration, Krylow-Verfahren wie dem cg- oder dem GMRES-Algorithmus, und modernen Mehrgitter- und Gebietszerlegungsverfahren, mit denen sich auch Probleme mit mehreren Millionen oder sogar Milliarden von Unbekannten behandeln lassen.

Skript, Stand Wintersemester 2008/09, teilweise überarbeitet

Numerik nichtlokaler Operatoren

Viele Phänomene im naturwissenschaftlichen Bereich sind nichtlokal: Das Gravitationsfeld der Sonne etwa erstreckt sich über das gesamte Universum. Bei der Simulation einer Galaxie entsteht deshalb das Problem, dass die Masse jeder Sonne einen Einfluss auf die Massen aller anderen Sonnen ausüben, dass also sehr viele Interaktionen berechnet werden müssen. Um diese Berechnungen effizient zu gestalten, müssen spezielle Algorithmen eingesetzt werden.

In der Vorlesung werden grundlegende Techniken (vor allem das Paneel-Clusterungsverfahren und hierarchische Matrizen) am Beispiel von Integral- und Differentialoperatoren aus dem Bereich der elliptischen Differentialgleichungen erläutert. Dabei sind vor allem die Effizienz und die Genauigkeit der verwendeten Algorithmen von Interesse.

Skript, Stand Sommersemester 2009
Englisches Skript auf den Seiten des Max-Planck-Instituts, Leipzig

Numerik gewöhnliche Differentialgleichungen

Bei vielen Anwendungen aus dem Bereich der Wirtschafts- oder Naturwissenschaften ist man daran interessiert, Vorhersagen über das Verhalten eines Systems zu treffen. Einfache Beispiele sind Wettervorhersagen oder Wirtschaftsprognosen. Mathematisch gesehen geht es darum, aus dem aktuellen Zustand des Systems auf seinen zukünftigen Zustand zu schließen, in der Regel mit Hilfe eines Modells, das die zeitliche Veränderung des betrachteten Systems beschreibt. In der Praxis ist das Modell oft in der Gestalt einer gewöhnlichen Differentialgleichung gegeben.

Die Vorlesung stellt eine Reihe grundlegender Techniken vor, mit denen sich derartige Gleichungen approximativ lösen lassen, etwa das klassische Polygonzugverfahren von Euler, die effizienteren Runge-Kutta-Algorithmen, Techniken zur Fehlerschätzung und Schrittweitensteuerung sowie Mehrschrittverfahren. Auch hier liegt das Augenmerk auf Genauigkeit und Effizienz der eingesetzten Techniken.

Skript, Stand Wintersemester 2007/08

Numerik von Eigenwertproblemen

Lineare Gleichungssysteme beschreiben in der Praxis häufig die Reaktion eines Systems auf äußere Kräfte. In bestimmten Fällen ist man aber auch an dem Verhalten eines Systems in Abwesenheit solcher Kräfte interessiert, beispielsweise um zu erforschen, wie eine Gitarrensaite schwingt, nachdem man an ihr gezupft hat und keinen weiteren Einfluss auf sie ausübt. Mathematisch führen solche Fragestellungen auf Eigenwertprobleme, die sich, anders als lineare Gleichungssysteme, in der Regel nicht exakt lösen lassen. Also müssen die Lösungen mit Hilfe numerischer Verfahren angenähert werden.

In der Vorlesung werden einfache Verfahren wie die Jacobi- und die Vektoriteration behandelt, aber auch die wesentlich effizienteren QR-Iterationen und die für besonders große Systeme geeigneten Lanczos-Verfahren.

Skript, Stand Wintersemester 2008/09